1. Что является графиком функции у = кx2.
2. Как зависит график функции у = кx2 от коэффициента к.
3. Вспомни алгоритм построения графиков функций у = f(x+l), у = f(x) + m, если известен график функции у= f (x).
4. Выдели полный квадрат x2 - 4х + 5.
II. Изучение нового материала
График функции y = f(x+l) + m можно получить из графика функции y = f(x) последовательно выполняя преобразования, которые мы выполняли на предыдущих уроках .
Пример 1. Построить график функции у = (х - 2)2 - 3.
Решение. Выполним построение данного графика по этапам.
Первый способ построения графика функции у = (х - 2)2 - 3
1 этап. Построим график функции у = х2 (пунктирная линия).
2 этап. Сдвинув параболу у = х2, на 2 единицы вправо, получим график функции у = (х - 2)2 (сплошная чёрная линия).
3 этап. Сдвинув параболу у=(х - 2)2 на 3 единицы вниз, получим график функции у=(х - 2)2 - 3 (сплошная цветная линия).
График функции y = f(x+l) + m можно получить из графика функции y = f(x) последовательно выполняя преобразования, которые мы выполняли на предыдущих уроках .
Пример 1. Построить график функции у = (х - 2)2 - 3.
Решение. Выполним построение данного графика по этапам.
Первый способ построения графика функции у = (х - 2)2 - 3
1 этап. Построим график функции у = х2 (пунктирная линия).
2 этап. Сдвинув параболу у = х2, на 2 единицы вправо, получим график функции у = (х - 2)2 (сплошная чёрная линия).
3 этап. Сдвинув параболу у=(х - 2)2 на 3 единицы вниз, получим график функции у=(х - 2)2 - 3 (сплошная цветная линия).
Но, уважаемый ученик, математику такое решение не очень понравится, хотя оно абсолютно правильное.
Он спросит: "Зачем мне строить три графика, когда я могу обойтись построением только одного?"
Ведь фактически графиком функции у=(х - 2)2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х2,
только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).
Он спросит: "Зачем мне строить три графика, когда я могу обойтись построением только одного?"
Ведь фактически графиком функции у=(х - 2)2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х2,
только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).
Второй способ построения графика функции у = (х - 2)2 - 3
1 этап. Построим (пунктиром) прямые х = 2 и у = - 3. Получили вспомогательную систему координат.
2 этап. В этой вспомогательной системе координат строим параболу у = х2 и получим в итоге требуемый график.
(математики обычно в таких случаях говорят: «Привяжем функцию у = х2 к новой системе координат»)
1 этап. Построим (пунктиром) прямые х = 2 и у = - 3. Получили вспомогательную систему координат.
2 этап. В этой вспомогательной системе координат строим параболу у = х2 и получим в итоге требуемый график.
(математики обычно в таких случаях говорят: «Привяжем функцию у = х2 к новой системе координат»)
Итак, мы получили два алгоритма построения графика функции y = f(x+l) + m
Пользуйтесь на практике тем алгоритмом, который вам более понятен.
| Алгоритм 1. (построение графика функции y = f(x+l) + m ) 1. Построить график функции у = f(x). 2. Осуществить параллельный перенос графика у = f(x) вдоль оси х на |l| единиц масштаба влево, если l>0, и вправо, если l<0. 3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси у на |m| единиц масштаба вверх, если m>0, и вниз, если m<0. |
| Алгоритм 2. (построение графика функции y = f(x+l) + m ) 1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые x = - l и y = m, т.е. выбрав в качестве начала новой ситемы координат точку ( -l; m ). 2. К новой системе координат привязать график функции у = f(x). |
Пример 2. Построить график функции у = х2 - 4х + 5.
Вы, наверное, подумали: какое отношение имеет этот пример к тем преобразованиям графиков, которые мы обсуждаем?
Оказывается, самое прямое. Вспомни задание №3 из разминки (выделить полный квадрат выражения х2 - 4х + 5 ).
Полный квадрат: х2 - 4х + 5 = (х2 - 4х + 4) + 1 = (х - 2)2 + 1
Оказывается, самое прямое. Вспомни задание №3 из разминки (выделить полный квадрат выражения х2 - 4х + 5 ).
Полный квадрат: х2 - 4х + 5 = (х2 - 4х + 4) + 1 = (х - 2)2 + 1
1 этап. Для построения графика функции у = (х - 2)2 + 1 перейдём к вспомогательной системе координат с началом в точке ( 2; 1 ).
(пунктирные прямые х = 2 и у = 1)
2 этап. Привяжем функцию у = х2 к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции у = х2 ,
например, ( 0; 0 ), ( 1; 1 ), ( -1; 1 ), ( 2; 4 ), ( -2; 4) , но строить их будем не в старой, а в новой системе координат.
3 этап. По этим точкам построим параболу - это и есть требуемый график.
Если тебе понятен алгоритм построения графиков, то можешь приступить к выполнению заданий для закрепления полученного материала.
Но сначала выполни зарядку, которая поможет тебе снять напряжение глаз!
(пунктирные прямые х = 2 и у = 1)
2 этап. Привяжем функцию у = х2 к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции у = х2 ,
например, ( 0; 0 ), ( 1; 1 ), ( -1; 1 ), ( 2; 4 ), ( -2; 4) , но строить их будем не в старой, а в новой системе координат.
3 этап. По этим точкам построим параболу - это и есть требуемый график.
Если тебе понятен алгоритм построения графиков, то можешь приступить к выполнению заданий для закрепления полученного материала.
Но сначала выполни зарядку, которая поможет тебе снять напряжение глаз!